Question

10．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以A为直角顶点，分别以AC、AB为一直角边，在△ABC外做等腰直角△ACD和△ABE，连接BD、CE交与点O．
（1）判断BD与CE的关系；
（2）求证：AO平分∠MON；
（3）求AM：AN的值．

Answer 1

分析 （1）证明△DAB≌△CAE（SAS），可以得出BD=CE，∠ADB=∠ACE，再利用△AMD和△OMC中，两个角相等，则根据三角形的内角和定理可知：∠COM=∠MAD=90°，则BD⊥CE；
（2）作高线AG、AH，由全等可知面积相等，底边相等，则高AG=AH；根据角平分线的逆定理得：AO平分∠MON；
（3）先证明四边形ADCB是平行四边形，则AM=MC，DM=BM，设AM=x，则CM=x，AD=2x，DM=$\sqrt{5}$x，
分别表示出AM和AN的长，相比即可．

解答 解：（1）BD=CE，且BD∥CE，理由是：
∵△ACD和△ABE是等腰直角三角形，
∴AC=AD，AB=AE，∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB，
即∠DAB=∠CAE，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠ACE，
∵∠AMD=∠OMC，
∴∠COM=∠MAD=90°，
∴BD⊥CE；

（2）过A作AG⊥BD于G，作AH⊥EC于H，
∵△DAB≌△CAE，
∴S_△DAB=S_△CAE，
∴$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$CE•AH，
∵BD=CE，
∴AG=AH，
∴AO平分∠MON；

（3）∵AD=AC，
∵∠DAC=∠ACB=90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCB是平行四边形，
∴AM=MC，DM=BM，
设AM=x，则CM=x，AD=2x，DM=$\sqrt{5}$x，
∵tan∠MDA=tan∠MCO=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，OC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∴OB=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∵DC∥BN，
∴△DCO∽△BNO，
∴$\frac{DC}{BN}=\frac{DO}{OB}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}x}{BN}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}x}{\frac{4\sqrt{5}}{5}x}$，
∴BN=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
∴AN=AB-BN=2$\sqrt{2}$x-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{x}{\frac{2\sqrt{2}}{3}x}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质、角平分线性质定理的逆定理、三角形相似和全等的性质和判定、同角的三角函数等知识，运用的知识点较多，第二问巧用面积法，证明高线相等，根据角平分线性质定理的逆定理得出结论，第三问关键是根据同角的三角函数确定OC=2OM，并设未知数求解．