Question

2．如图所示，△ABC中，∠BAC为锐角，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE交于H，AD=BD．
（1）求证：BH=AC；
（2）现将∠BAC改为钝角，按题设要求画出图形，结论BH=AC是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质得出∠HBD=∠DAC，利用ASA证明△BDH≌△ADC，即可得出结论；
（2）同（1）证明△BDH≌△ADC，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
同理：∠C+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠DAC，
在△BDH和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠ADC=90°}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\\{∠HBD=∠DAC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；
（2）解：成立；理由如下：如图所示：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠C+∠DAC=90°，∠C+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠C，在△BDH和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠ADC=90°}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\\{∠HBD=∠DAC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；本题难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键．