Question

14．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB-AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．

解答 解：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，
∴AD=4，即AC=8，
∴FB=AB-AF=8-2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，
∴BG=3，
则根据勾股定理得：FG=3$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．