Question

8．阅读材料：
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1视为一个整体，设x²-1=y，则原方程可化为y²-5y+4=0，①
解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-1=1，∴x²=2即x=±$\sqrt{2}$．
当y=4时，x²-1=4，∴x²=5即x=±$\sqrt{5}$．
∴原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（2）解方程x⁴-x²-6=0．

Answer 1

分析 （1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想；
（2）设x²=y，则原方程可化为y²-y-6=0，解之可得y的值，再进一步解关于x的方程可得．

解答 解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：转化．

（2）设x²=y，则原方程可化为y²-y-6=0．
解得y₁=3，y₂=-2（不合题意，舍去）．
由x²=3可得解是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，
故方程x⁴-x²-6=0的解是x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．