Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为点P，过B点的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）如图1，求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）如图2，当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形是平行四边形，证明详见解析.

【解析】

（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明∠ABF=90°．

（2）结论四边形AEBF是平行四边形，只要证明AE∥BF，AF∥BE即可．

（1）如图1中，∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB．

∵CD⊥AB，∴∠CPB=90°，∴∠ABF=90°，∴直线BF是⊙O的切线．

（2）结论：四边形AEBF是平行四边形．证明如下：

如图2中，连接AC、BD．

∵OA=OB，∴OC=OD，∴四边形ACBD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE．

又∵AE切⊙O于点A，∴AE⊥AB，同理BF⊥AB，∴AE∥BF，∴四边形AEBF是平行四边形．