Question

【题目】已知关于x的方程．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），,；（2）不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于，理由详见解析.

【解析】

（1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．

（2）利用根与系数的关系x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．

（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2，方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．

原方程化为：x2+x+1=0，x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．

（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．理由如下：

∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去）．

又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．