Question

13．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S_△BMG=1，求三角形ADG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD=∠CBD，再根据∠ABM=2∠BAM，得出∠ABD=∠BAM，然后根据等角对等边证明即可．
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABM=2∠BAM，
∴∠ABD=∠BAM，
∴AG=BG；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴$\frac{AG}{GM}$=$\frac{AD}{BM}$，
∵点M为BC的中点，
∴$\frac{AD}{BM}$=2，
∴$\frac{{S}_{△ADG}}{{S}_{△BMG}}$=（$\frac{AD}{BM}$）²=4
∵S_△BMG=1，
∴S_△ADG=4．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．