Question

8．观察下列运算：
①由（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$；
②由（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
③由（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$；…
（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来．
 （2）利用（1）中你发现的规律计算：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+$…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）×（$\sqrt{2016}+1$）

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据分母有理化，可得二次根式的加减，根据二次根式的加减，可得答案．

解答 解：（1）规律是（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=1，得出$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1\sqrt{n}}$．
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）（$\sqrt{2016}$+1）
=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）
=2016-1
=2015．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式解题关键．