Question

14．如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧$\widehat{AA′}$、$\widehat{CC′}$是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 4π+2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{16}{3}$π-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$
• D． 4π

Answer 1

分析 根据扇形面积公式S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$求出扇形ABA′的面积和扇形CBC′的面积，根据图形可得图中阴影部分的面积=Rt△ABC+扇形ABA′的面积-扇形CBC′的面积计算即可．

解答 解：∵AB=4，∠A=30°，
∴BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积
=Rt△ABC+扇形ABA′的面积-扇形CBC′的面积
=2$\sqrt{3}$×2÷2+$\frac{120×π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{120×π×{2}^{2}}{360}$
=2$\sqrt{3}$+$\frac{16}{3}$π-$\frac{4}{3}$π
=4π+2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查的是轨迹、扇形面积的计算和旋转的性质，掌握扇形面积公式S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$是解题的关键．