Question

9．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAO=$\frac{4}{5}$，且OC=6，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB．先依据切线的性质证明∠PBO=90°，依据等腰三角形的性质可知∠OAB=∠OBA，由垂径定理可证明OP为AB的垂直平分线，则PA=PB，故此可证明∠PAB=∠PBA，然后依据等式的性质可得到∠PAO=∠PBO=90°；
（2）设AC=4k，AO=5k，由勾股定理可知OC=3k，在Rt△OAC中，利用锐角三角函数的定义先求得OA的长，在Rt△APO中利用锐角三角函数的定义可求得PA的长，最后依据切线长定理可求得PB的长．

解答 解：（1）连接OB．

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OP⊥AB，
∴AC=BC．
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB．
∴∠PAB=∠PBA．
∴∠PAO=∠PBO．
∵PD为⊙O的切线，
∴∠OBP=90°．
∴∠PAO=90°．
∴PA是⊙O的切线．

（2）设AC=4k，AO=5k，由勾股定理可知OC=3k，
∴sin∠CAO=$\frac{3}{5}$，tan∠COA=$\frac{4}{3}$
∴$\frac{CO}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{6}{OA}$=$\frac{3}{5}$，解得OA=10．
∵tan∠POA=$\frac{AP}{AO}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AP}{10}$=$\frac{4}{3}$，解得AP=$\frac{40}{3}$．
∵PA和PB均为⊙的切线，
∴PB=PA=$\frac{40}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质和判定、锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键．