Question

7．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AE平分∠BAC交BC于E．
（1）若AD⊥BC于D，∠C=40°，求∠DAE的度数；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C=2∠FEC．

Answer 1

分析 （1）首先计算出∠B，∠BAC的度数，然后可得∠EAC=30°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，进而可得答案；
（2）首先证明∠DAE=∠FEC，然后再根据三角形内角和定理可得∠EAC=90°-$\frac{3}{2}$∠C，再利用角之间的和差关系可得∠DAE=∠DAC-∠EAC，利用等量代换可得∠DAE=$\frac{1}{2}∠$C，进而可得结论．

解答 （1）解：∵∠C=40°，∠B=2∠C，
∴∠B=80°，
∴∠BAC=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=50°，
∴∠DAE=50°-30°=20°；

（2）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=$\frac{1}{2}$（180°-3∠C）=90°-$\frac{3}{2}$∠C，
∵∠DAE=∠DAC-∠EAC，
∴∠DAE=∠DAC-（90°-$\frac{3}{2}$∠C）=90°-∠C-90°+$\frac{3}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠FEC=$\frac{1}{2}∠$C，
∴∠C=2∠FEC．

点评 此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余．