Question

5．如图，△ABC中，AC=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，E是边BC的中点，且AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 作CF平行于AB交AE的延长线于F，首先证明△AEB≌△FEC，可得AE=FE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AB=FC=$\sqrt{2}$，再利用勾股定理逆定理可证明∠ACF=90°，再根据平行线的性质可得∠CAB=90°，从而证明△ABC是直角三角形．

解答 证明：如图，作CF平行于AB交AE的延长线于F，
∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠ECF，
在△AEB与△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECF}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FEC（ASA），
∴AE=FE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AB=FC=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{5}$，
∵AC=$\sqrt{3}$，
∵（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{3}$）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴△AFC是直角三角形．
∴∠ACF=90°，
∵AE∥BC，
∴∠CAB=180°-∠ACF=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 此题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是正确画出辅助线，证明△AFC是直角三角形．