Question

5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4$\sqrt{2}$，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{C}^{2}}$=3，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4，
∵BE=5，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴AE=4-3=1；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A，F，C，B四点共圆，
∴∠CFB=∠CAB=45°，
∴∠DFC=∠AFC=135°，
在△ACF与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=DF}\\{∠AFC=∠DFC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCF，
∴CD=AC，
∵AC=BC，
∴AC=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．