Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为直线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据经过的点的坐标和对称轴列出关于b、c的方程组，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）根据点P在抛物线上表示点P的坐标，再求出PA，然后表示出QB，从而求出点Q的横坐标，代入抛物线解析式求出点Q的纵坐标，从而得解；
（3）根据点P、Q的坐标表示出点A、B的坐标，然后分别求出PQ、BQ、AB，即可得解．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为在线x=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-1}\\{-\frac{b}{2}=2}\end{array}\right.$，
解得：bb=-4，c=2．
∴这条抛物线所对应的函数关系式y=x²-4x+2；
（2）∵抛物线上点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-4m+2），
∴PA=m-2，
QB=PA+1=m-2+1=m-1，
∴点Q的横坐标为2-（m-1）=3-m，
点Q的纵坐标为（3-m）²-4（3-m）+2=m²-2m-1，
∴点Q的坐标为（3-m，m²-2m-1）；
（3）PA+QB=AB成立．
理由如下：∵P（m，m²-4m+2），Q（3-m，m²-2m-1），
∴A（2，m²-4m+2），B（2，m²-2m-1），
∴AB=（m²-2m-1）-（m²-4m+2）=2m-3，
又∵PA=m-2，QB=m-1，
∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3，
∴PA+QB=AB．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线上点的坐标特征，用含m的式子表示A、B、Q、P的坐标是解题的关键．