Question

19．如图，经过点D（m，0）作y轴的平行线n，交一次函数y=x+1的图象于C，函数y=x+1的图象与x、y轴分别相交于B、A．（其中m＞0）
（1）写出C点的坐标，用含m的式子表示；
（2）当△OAC的面积是$\sqrt{2}$时，求m的值；
（3）在y轴上取一点E，EC⊥AB时，有BE=6-2m，求E点的坐标；
（4）取m=2时，在直线n上有一点K，以B、C、K为顶点的菱形的另一顶点为Q，直接写出Q的坐标．（不写过程）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用三角形的面积公式，列出方程即可解决问题；
（3）利用勾股定理求出BC、EC，在Rt△BCE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题；
（4）分两种情形BC为菱形的对角线或BC为边时，分别求解即可；

解答 解：（1）如图1中，∵D（m，0），CD⊥x轴，
∴点C的横坐标为m，
∴点C在直线y=x+1上，
∴C（m，m+1）．

（2）如图1中，∵函数y=x+1的图象与x、y轴分别相交于B、A，
∴B（-1，0），A（0，1），
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×1×m=$\sqrt{2}$，
∴m=2$\sqrt{2}$．

（3）如图1中，∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=∠CAE=45°，
∵EC⊥AB，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴E（0，1+2m）
由EC=$\sqrt{2}$m，BC=$\sqrt{2}$（m+1），
在Rt△BCE中，∵BE²=BC²+CE²，
∴（6-2m）²=[$\sqrt{2}$（m+1）]²+（$\sqrt{2}$m）²，
∴m=$\frac{34}{28}$．

（4）如图2中，∵BC=3$\sqrt{2}$，△BCD是等腰直角三角形，
①当BC为菱形的对角线时，易知Q₁（-1，3）．
②当BC为菱形的边长时，BQ=BC=3$\sqrt{2}$，所以Q₂（-1，-3$\sqrt{2}$），Q₃（-1，3$\sqrt{2}$）

点评 本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．