Question

13．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{b}$，则用$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 由AD=DE=EB，$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{a}$，可求得$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{AB}$，然后由三角形法则，求得$\overrightarrow{AC}$，继而求得$\overrightarrow{BC}$，又由△ADF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：∵AD=DE=EB，
∴$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{EB}$=3$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴DF：BC=AD：AB=1：3，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$．

点评 此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．