题目内容
18．
如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为$\frac{12}{7}$．
分析 由DE∥BC可得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，求出AE的长，由GF∥BN可得$\frac{AE+EF}{AB}$=$\frac{GF}{BN}$，将AE的长代入可求得BN．
解答 解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$①，$\frac{AE+EF}{AB}$=$\frac{GF}{BN}$②，
由①可得，$\frac{AE}{4}$=$\frac{1}{3}$，解得：AE=$\frac{4}{3}$，
将AE=$\frac{4}{3}$代入②，得：$\frac{\frac{4}{3}+1}{4}$=$\frac{1}{BN}$，
解得：BN=$\frac{12}{7}$，
故答案为：$\frac{12}{7}$．
点评 本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{b}$，则用$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$．