Question

7．已知：如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，交AB的中垂线ED于点D，连结AD．求证：AC+BC＞2AD．

Answer 1

分析 延长AD到点F，使DF=AD，连结FC，连结DB，根据平行线的性质得到∠FDC=∠DAB，∠CDB=∠ABD，由线段垂直平分线的性质得到DB=DA=DF，求得∠FDC=∠BDC，推出△DFC≌△DBC，根据全等三角形的性质得到FC=BC，由三角形的三边关系得到AC+FC＞AF，即可得到结论．

解答 证明：延长AD到点F，使DF=AD，连结FC，连结DB，
∵CD∥AB，
∴∠FDC=∠DAB，∠CDB=∠ABD，
∵DE为AB的中垂线，
∴DB=DA=DF，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠FDC=∠BDC，
在△DFC与△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BD}\\{∠FDC=∠BDC}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DBC，
∴FC=BC，
∴AC+FC＞AF，
∴AC+BC＞2AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．