如图.已知△ABC中.AB=AC=12cm.BC=10cm.点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动.同时.点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．(1)若点P.Q两点分别从B.A 两点同时出发.经过2秒后.△BPD与△CQP是否全等.请说明理由,(2)若点P.Q两点分别从B.A 两点同时出发.△CPQ的周长为18cm.问:经过几秒� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？

分析：（1）经过1秒后，PB=2m，PC=8m，CQ=6m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形，则可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时△CPQ为等腰三角形，从而求得t的值．

解答：解：（1），△BPD与△CQP是全等．理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm …（2分）
∵D是AB的中点
∴BD=

AB=

×12=6cm
∴BP=CQ，BD=CP             …（3分）
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C                    …（4分）
在△BPD和△CQP中
BP=CQ
∠B=∠C
BD=CP
∴△BPD≌△CQP（SAS）         …（6分）

（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4t
∴t的取值范围为0＜t≤3
则CP=10-2t，CQ=12-4t            …（7分）
∵△CPQ的周长为18cm，
∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4   …（8分）
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t
解得：t=1     …（9分）
②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t
解得：t=

…（10分）
③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t
解得：t=

…（11分）
三种情况均符合t的取值范围．
综上所述，经过1秒或

秒或

秒时，△CPQ是等腰三角形…（12分）

点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．