Question

8．如图，已知△ABC中，AB=AC，将△ABC沿着EF折叠，使点B落在边AC上，记为点D，且DF=DC．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）求证：$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC}$．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠DFC，证出BE∥DF，得出∠ABC+∠BFD=180°，由折叠的性质得：BE=DE，∠EDF=∠ABC，证出DE∥BC，得出四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行线得出得出△ADE∽△ABC，得出比例式$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{DE}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，证出AE=AD，再由菱形的性质得出DE=DF=DC，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，DF=DC，
∴∠ABC=∠C=∠DFC，
∴BE∥DF，
∴∠ABC+∠BFD=180°，
由折叠的性质得：BE=DE，∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF+∠BFD=180°，
∴DE∥BC，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）证明：由（1）得：DE∥BC，四边形EBFD是菱形，
∴△ADE∽△ABC，DE=DF=DC，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{DE}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵AB=AC，
∴AE=AD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质，证明四边形EBFD是菱形是解决问题的关键．