Question

【题目】定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为两倍四边形，其中这条对角线叫做两倍对角线，这条边叫做两倍边．

如图1，四边形是平行四边形， ，延长交于点，连结交于点，， ．

（1）若，如图2．

①当时，试说明四边形是两倍四边形；

②是否存在值，使得四边形是两倍四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如图1，四边形与四边形都是两倍四边形，其中与为两倍对角线，与为两倍边，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②存在，的值为或；（2）．

【解析】

（1）①证明四边形是平行四边形，，即可得到结论；

②当AC=2CD时，四边形ABCD是两倍四边形，此时 AD=BC=；当AC=2AD时，四边形ABCD是两倍四边形，由勾股定理得出方程m2+12=（2m）2，解方程即可；
（2）由两边四边形的定义得出AD=DG，得出∠DAG=∠AGD，同理AC=AF，得出∠ACF=∠AFC，证出∠ADG=∠CAF，，得出△ADB∽△ACE，由AB=CE，得出△ADB≌△ACE，由全等三角形的性质得出AC=AD，作DM⊥AC于M，设AM=x，则AC=AD=4x，由勾股定理得：DM=，CD=，由CD=AB=1得出方程，解方程即可．

（1）①证明：∵四边形是平行四边形，

∴AB∥CD，BC=AD=2，

∵，AB∥CE，

∴四边形是平行四边形，，

四边形是两倍四边形；

②存在，理由如下：

当AC=2AB时，则AC=2，

∵，

∴,

∴m=AD=BC=；

当AC=2AD时，则AC=2m，

∴，

解得m=或m=-（舍去），

∴的值为或时，四边形是两倍四边形；

（2）∵四边形ABCD是两倍四边形，BD为两倍对角线，AD为两倍边，
∴AD=DG，
∴∠DAG=∠AGD，
∵四边形ABEC是两倍四边形，AE为两倍对角线，AC为两倍边，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
又∵∠DAG=∠ACF，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC，
∴∠ADG=∠CAF，
又∵，，

∴，

∴△ADB∽△ACE，
又∵AB=CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC=AD，
作DM⊥AC于M，如图1，
设AM=x，则AC=AD=4x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM=，

在Rt△DMC中，由勾股定理得：CD=，

∵CD=AB=1，
∴ =1，
∴x=，

∴AD=4x=，

即．