Question

【题目】如图，为的直径，于点，是上一点，且，延长至点，连接，使，延长与交于点，连结，．

（1）连结，求证：；

（2）求证：是的切线；

（3）若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．
（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．
（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由相似三角形可知CG2=BGAG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据AG-BG=求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．

（1）证明：因为，

所以，

在和中：

所以．

（2）证明：连接．

因为，

，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为于，

所以，

所以，

即，

所以，

所以是圆的切线．

（3）因为直径弦于，

所以，，

所以，

因为，，

所以，

设，则．

连接，则，

因为，，

所以

所以，

所以，

因为，

所以，

解得，

所以，，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以．