Question

定义：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“直角抛物线”．
（1）抛物线y=x²-1

 

直角抛物线（填“是”或“不是”）；
（2）直角抛物线y=a（x+2）²-3与x轴交于点A、B（A在B的左侧），顶点为P，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）先求得与x轴的两交点坐标为（-1，0）和（1，0），顶点坐标（0，-1），利用勾股定理可判定；
（2）由题意可知△PAB为等腰直角三角形，设对称轴与x轴的交点为F，则有AF=BF=PF，根据顶点坐标可求得B点坐标，代入可求得a．

解答：解：
（1）令y=0可得x²-1=0，解得x=±1，
∴与x轴的交点坐标为C（-1，0）和D（1，0），
又顶点E坐标为（0，-1），
∴OE=OC=OD，
∴∠CED=90°，
∴抛物线y=x²-1是直角抛物线，
故答案为：是；
（2）设对称轴与x轴的交点为F，
∵y=a（x+2）²-3是直角抛物线，顶点坐标为P（-2，-3），
∴AF=BF=PF=3，且OF=2，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴B为（1，0），代入抛物线解析式可得0=a（1+2）²-3，
解得a=

1

3

．

点评：本题主要考查二次函数与x轴的交点，利用二次函数的对称性得到△PAB为等腰直角三角形是解题的关键．