Question

如图，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ=60°且使BQ=BP，连接CQ
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，求∠APB的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）首先根据等式的性质证明∠ABP=∠CBQ，即可证明△ABP≌△CBQ，根据全等三角形的对应边相等证明；
（2）首先证明△PBQ是等边三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，据此即可求得∠BQC，则∠APB即可求解．

解答：解：（1）AP=CQ．
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠ABP=∠CBQ BP=BQ

，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）∵PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则PB=4x，PC=5x，
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BOQ是等边三角形．
∴∠BQP=60°，PQ=BP=4x，
所以在△PQC中，PC²=PQ²+CQ²，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°．
∴∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠BQC=150°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形是解决本题的关键．