Question

【题目】著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”

阅读下列两则材料，回答问题

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即mn＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2

∴＝＝|，双重二次根式得以化简．

例如化简：．∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2，

∴＝＝1+．

材料二：在直角坐标系xoy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′）出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”例如，点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）

问题：

（1）请直接写出点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为　 　；化简＝　 　；

（2）点M为一次函数y＝﹣x+1图象上的点，M′为点M的横负纵变点，已知N（1，1），若M′N＝，求点M的坐标；

（3）已知b为常数且1≤b≤2，点P在函数y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的图象上，其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32＜y′≤32，若a为偶数，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，2）；﹣；（2）当a≥0时，M'（3，﹣2）；当a＜0时，M'（﹣1，﹣2）；（3）a＝4或a＝6

【解析】

（1）﹣3＜0，得到（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3，2）；＝＝﹣；

（2）设点M（a，1﹣a），当a≥0时，M'（a，1﹣a），M'（3，﹣2）；当a＜0时，M'（a，a﹣1），M'（﹣1，﹣2）；

（3）＝+1+1﹣＝2，令y'＝，当﹣7≤x＜0时，﹣32＜y'≤17，当x≥0时，y'≤32，即可求出a．

解：（1）∵﹣3＜0，根据“横负纵变点”的定义，

∴（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3，2）；

＝＝﹣；

故答案为：（﹣3，2）；﹣；

（2）设点M（a，1﹣a），

当a≥0时，M'（a，1﹣a），

∵N（1，1），M′N＝，

∴（1﹣a）2+a2＝13，

∴a＝3或a＝﹣2（舍），

∴M'（3，﹣2）；

当a＜0时，M'（a，a﹣1），

∵N（1，1），M′N＝，

∴（1﹣a）2+（2﹣a）2＝13，

∴a＝﹣1或a＝4（舍），

∴M'（﹣1，﹣2）；

（3）∵1≤b≤2，∴0≤b﹣1≤1，

∵＝+1+1﹣＝2，

∴y＝﹣x2+32，

∴y'＝，

当﹣7≤x＜0时，﹣32＜y'≤17；

当x≥0时，y'≤32；

令﹣x2+32＝17，解得x1＝或x2＝﹣（舍）；

令﹣x2+32＝﹣32，解得x1＝8或x2＝﹣8（舍）；

∴≤a＜8，

∵a是偶数，

∴a＝4或a＝6．