Question

【题目】抛物线直线一个交点另一个交点在轴上，点是线段上异于的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的点，使线段长度最大？若存在，求出最大值及此时点的坐标，若不存在，说明理由；

（3）求当为直角三角形时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，长度的最大值为，此时点的坐标为；（3）为直角三角形时点的坐标为或．

【解析】

（1）根据已知条件先求得，，将、坐标代入，再求得、，最后将其代入即可得解；

（2）假设存在符合条件的点，并设点的横坐标，然后根据已知条件用含的式子表示出、的坐标，再利用坐标平面内距离公式求得、间的距离，将其进行配方即可进行判断并求解；

（3）分、两种情况进行讨论，求得相应的符合要求的点坐标即可．

解：（1）∵抛物线直线相交于、

∴当时，；当时，，则

∴，

∴把代入得

∴

∴

（2）假设存在符合条件的点，并设点的横坐标

则、

∴

∵

∴有最大值当时，长度的最大值为，此时点的坐标为

（3）①当时

∵直线垂直于直线

∴可设直线的解析式为

∵直线过点

∴

∴

∴直线的解析式为

∴

∴或(不合题意，舍去)

∴此时点的坐标为

∴当时，

∴此时点的坐标为；

②当时

∴点的纵坐标与点的纵坐标相等即

∴

∴解得 (舍去)

∴当时，

∴此时点的坐标为．

∴综上所述，符合条件的点存在，为直角三角形时点的坐标为或．

故答案是：（1）；（2）当时，长度的最大值为，此时点的坐标为；（3）为直角三角形时点的坐标为或．