Question

16．如图，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和B，点M和点N分别是l₁ 和l₂上的动点，MN沿l₁和l₂平移，⊙O的半径为3，∠1=60°，下列结论错误的是（　　）

• A． 若MN与⊙O相切，则AM=3$\sqrt{3}$
• B． 若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
• C． MN=4$\sqrt{3}$
• D． l₁和l₂的距离为6

Answer 1

分析 首先过点N作NC⊥AM于点C，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，易求得MN=$\frac{CN}{sin60°}$=4$\sqrt{3}$，l₁和l₂的距离为6；若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，易证得CO=NO，继而可得即O到MN的距离等于半径，可证得MN与⊙O相切；由题意可求得若MN与⊙O相切，则AM=3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

解答 解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，
∵直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，⊙O的半径为3，
∴CN=AB=6，
∵∠1=60°，
∴MN=$\frac{CN}{sin60°}$=4$\sqrt{3}$，
故C与D正确；
如图3，
若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO=NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为3，即O到MN的距离等于半径．
故B正确；
如图2，∵MN是切线，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B，
∴∠AMO=$\frac{1}{2}$∠1=30°，
∴AM=3$\sqrt{3}$；
∵∠AM′O=60°，
∴AM′=$\sqrt{3}$，
∴若MN与⊙O相切，则AM=3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$；
故A错误．
故选A．

点评 此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．