Question

5．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1△ABC，
尺规作图：求作∠APC=∠ABC．
甲、乙两位同学的主要作法如下：

甲同学的主要作法，如图甲：①作∠CAD=∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP=CB，连结CP．所以∠APC=∠ABC．
乙同学的主要作法，如图乙：①作线段BC的垂直平分线a；②作线段AB的垂直平分线b，与直线a交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④在$\widehat{ABC}$上取一点P（点P不与点A，B，C重合），连结AP，CP．所以∠ACP=∠ABC．
老师说：“两位同学的作法都是正确的．”
请你选择一位同学的作法，并说明这位同学作图的依据．
我选择的是甲的作法，这样作图的依据是内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等．

Answer 1

分析 甲：由内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等可得；
乙：由线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；圆的确定；同弧所对的圆周角相等可得．

解答 解：甲、∵∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AP=CB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠B=∠APC，
故甲作法的依据为：内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等．

乙、∵a为AB的中垂线、b为BC的中垂线，且交点为O，
∴OA=OB=OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OA为半径的圆上，
∴∠APC=∠ABC，
故乙作法的依据是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；圆的确定；同弧所对的圆周角相等．
故答案为：甲、内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等．

点评 本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定及中垂线的性质、圆周角定理是解题的关键．