Question

13．如图，△ABC中，CE和CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACD，一动点O在AC上运动，过点O作BD的平行线与∠ACB和∠ACD的角平分线分别交于点E和点F．
（1）求证：当点O运动到什么位置时，四边形AECF为矩形，说明理由；
（2）在第（1）题的基础上，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质以及平行线的性质得出OE=OF，即可得出结论；
（2）证出EF⊥AC，即可得出结论．

解答 （1）证明：当点O运动到AC的中点位置时，四边形AECF为矩形；理由如下：
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵EF∥BD，
∴∠CEO=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE，
∴∠CEO=∠ECO，
∴OE=OC，
同理可证，OC=OF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF=2OE，AC=2OC，
∴EF=AC，
∴四边形AECF为矩形；
（2）解：当∠ACB=90°时，四边形AECF为正方形；
理由如下：∵EF∥BD，∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴EF⊥AC，
∵四边形AECF为矩形，
∴四边形AECF为正方形．

点评 本题考查了正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证出OE=OF是解决问题的关键．