Question

14．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．
（1）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm²．
（2）△PBQ的面积可能等于10cm²吗？为什么？
（3）几秒后△PBQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可；
（2）根据面积为8列出方程，判定方程是否有解即可．
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．

解答 解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于8cm²，
根据题意得：$\frac{1}{2}$×2t（6-t）=8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm²．
（2）不能，理由如下：
由题意得：$\frac{1}{2}$×2t（6-t）=10，
整理得：t²-6t+10=0，
b²-4ac=36-40=-4＜0，
此方程无解，
所以△PBQ的面积不能等于10cm²．
（3）分两种情况：
①当△ABC∽△PBQ时，$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，
解得：t=3；
②当△ABC∽△QBP时，$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
即$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2；
综上所述：1.2秒或3秒时，△PBQ与△ABC相似．

点评 本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定、三角形的面积；熟练掌握一元二次方程的应用和相似三角形的判定，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．