Question

如图，等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边向左作等边△ADE，连接CF、EF，设BD：DC=K．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）判断四边形CDEF是怎样的特殊四边形，并说明理由；
（3）当∠DEF=45°时，求k的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）△ABC为等边三角形，则可证明△ACD≌△CBF；
（2）根据△ACD≌△CBF可得AD=CF，即而可证ED∥CF，可得四边形CDEF是平行四边形；
（3）易证CH=

1

2

n，DH=

3

2

n，再根据AH=DH即可求出k的值．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠ACB=∠B=60°，
又∵CD=BF，
∴△ACD≌△CBF；
（2）由（1）得△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，AD=CF
又∵△ADE是等边三角形，
∴ED=AD=CF，∠EDA=60°，
∵∠BDA=∠BDE+∠EDA=∠CAD+60°，
∴∠BDE=∠CAD=∠BCF，
∴ED∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
（3）过D点作DH⊥AC垂足为H，

∵BD：DC=K，∴设BD=nK，DC=n
∵∠ACB=60°，
∴∠HDC=30°，
∴CH=

1

2

n，DH=

3

2

n 
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DCF=∠CAD=45°
∴∠ADH=∠HAD=45°，
∴AH=DH=

3

2

n，
∴nk+n=

1

2

n+

3

2

n，
∴k=

1

2

+

3

2

-1=

3 -1

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质．