Question

某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y₁（元/台）与采购数量x₁（台）满足y₁=-20x₁+1500（0＜x₁≤20，x₁为整数）；冰箱的采购单价y₂（元/台）与采购数量x₂（台）满足y₂=-10x₂+1300（0＜x₂≤20，x₂为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的

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，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元一次不等式组的应用

专题：应用题

分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．

解答：解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，
由题意得，

x≥ 11 9 (20-x)① -20x+1500≥1200②

，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；

（2）设总利润为W元，空调的采购数量为x台，
y₂=-10x₂+1300=-10（20-x）+1300=10x+1100，
则W=（1760-y₁）x₁+（1700-y₂）x₂，
=1760x-（-20x+1500）x+（1700-10x-1100）（20-x），
=1760x+20x²-1500x+10x²-800x+12000，
=30x²-540x+12000，
=30（x-9）²+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W_最大值=30（15-9）²+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．

点评：本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．