Question

4．已知关于x的一元二次方程：x²-（m-3）x-m=0
（1）证明原方程有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y=x²-（m-3）x-m与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x₁-x₂|）

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）△=[-（m-3）]²-4（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8，
∵（m-1）²≥0，
∴△=（m-1）²+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x₁，x₂是原方程的两根，
∴x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m．
∵AB=|x₁-x₂|，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=（m-3）²-4（-m）=（m-1）²+8，
∴当m=1时，AB²有最小值8，
∴AB有最小值，即AB=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．