Question

14．如图，正方形ABCD的边长为2，点O是正方形的中心，过点O作一条直线l分别交正方形AD，BC两边于点E，F．直线l将正方形分成两部分，将其中一部分沿这条直线翻折到另一部分上，若AE=2-$\sqrt{2}$，则两个部分图形中不重叠部分的面积为14-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接OB，OB′，推出四边形BFB′O是菱形，根据菱形的性质得到OB∥B′F，推出△CFM是等腰直角三角形，△B′MN是等腰直角三角形，△A′EP与△PDN是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接OB，OB′，
由折叠的性质得，OB=OB′，BF=B′F，
∵四边形ABCD是正方形，点O是正方形的中心，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵一条直线l过O点，
∴CF=AE=2-$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∴BO=BF=OB′=B′F，
∴四边形BFB′O是菱形，
∴OB∥B′F，
∵∠OBC=45°，
∴∠CFB′=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴∠NMB′=∠FMC=45°，
∴△B′MN是等腰直角三角形，
同理△A′EP与△PDN是等腰直角三角形，
∴AE=A′P=CF=CM=2-$\sqrt{2}$，
∴PE=FM=2$\sqrt{2}$-2，
∴PD=DN=2-（2$\sqrt{2}$-2）-（2-$\sqrt{2}$）=2-$\sqrt{2}$，
∴PN=2$\sqrt{2}$-2，
∴NB′=MB′=2-$\sqrt{2}$，
∴两个部分图形中不重叠部分为四个全等的等腰直角三角形+梯形ABFE=4×$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$+2-2+$\sqrt{2}$）×2=14-8$\sqrt{2}$，
故答案为：14-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，翻折变换-折叠问题，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．