Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，在△EFC中，EF=FC，且∠BAC+∠EFC=180°，D是BE中点．求证：AD⊥DF．

Answer 1

分析 延长AD使得DH=AD，延长FE交AB于K，连接AF、HF、AE、BH、HE．只要证明△ACF≌△HFE即可解决问题．

解答 证明：延长AD使得DH=AD，延长FE交AB于K，连接AF、HF、AE、BH、HE．
∵BD=DE，AD=DH，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∴AB=EH=AC，AB∥HE，
∴∠HEF=∠BKE，
∵∠BAC+∠EFC=180°，
∴∠AKC+∠ACF=180°，
∵∠BKE+∠AKF=180°，
∴∠BKE=∠ACF，
∴∠FEH=∠ACF，
在△ACF和△HFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FH}\\{∠ACF=∠FEH}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△HFE，
∴FA=FH，∵AD=DH，
∴DF⊥AD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．