Question

【题目】（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；

（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，CD的中点，求证：EF＝（AD+BC）

（3）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝900，AD＝3，BC＝4，CD＝7，E是AB的中点，直接写出点E到CD的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2．

【解析】

（1）作出图形，写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，证明△AEF≌△CDF，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC；

（2）连接AF并延长，交BC延长线于点M，根据ASA证明△ADF≌△MCF，判断EF是△ABM的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论；

（3）作DN⊥BC于N，连接DE并延长交CB的延长线于H，连接EC，证明CH=CD，根据等腰三角形的三线合一得到∠ECH=∠ECD，根据角平分线的性质解答即可．

（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，

求证：EF∥BC，EF=BC，

证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，如图所示：

∵点F是AC的中点，

∴AF=CF，

在△AEF和△CDF中，

，

∴△AEF≌△CDF（SAS），

∴AE=CD，∠D=∠AEF，

∴AB∥CD，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴BE=CD，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴DE∥BC，EF=BC；

（2）证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M，如图所示：

∵AD∥BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中点，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

，

∴△ADF≌△MCF（ASA）

∴AF=FM，AD=CM，

∴EF是△ABM的中位线，

∴EF∥BC∥AD，EF=BM=（AD+BC）；

（3）解：作DN⊥BC于N，

则四边形ABND为矩形，

∴AB=DN，BN=AD=3，

∴NC=1，

∴DN==4，

∴EB=AB=DN=2，

连接DE并延长交CB的延长线于H，连接EC，如图所示：

∵E是AB的中点，

∴BH=AD=3，DE=EH，

∴CH=CB+BH=7，

∴CD=CH，又DE=EH，

∴∠ECH=∠ECD，EB⊥BC，EK⊥CD，

∴EK=EB=2.