Question

20．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=$\sqrt{2}$，则BF=2；正确的结论有（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判断出①错误；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，然后判断出△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DEF=45°，再根据两组角对应相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判断出②正确；连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=$\frac{1}{2}$EF，然后判断出直线CM垂直平分BD，判断出③正确；过点M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BF=2MH，判断出④正确．

解答 解：正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠A=∠DCE=90°}\\{AF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，
∴∠DGN≠∠DNG，
∴DN≠DH，判断出①错误；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；
连接BM、DM．
∵△AFD≌△CED，
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，
∴∠FDE=∠ADC=90°，
∵M是EF的中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$EF，
∵BM=$\frac{1}{2}$EF，
∴MD=MB，
在△DCM与△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=MB}\\{BC=CD}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△BCM（SSS），
∴∠BCM=∠DCM，
∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，
∴MC垂直平分BD；故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，
∵MC=$\sqrt{2}$，
∴MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴BF=2MH=2，故④正确；
综上所述，正确的结论有②③④．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．