Question

16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）如果DF=2$\sqrt{2}$，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由F为AC的中点，EF=DF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形ADCE为平行四边形；
（2）首先过点F作FG⊥DC与G，由在Rt△FDG中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=$2\sqrt{2}$，可求得DG的长，由在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，可求得CG的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵F为AC的中点，
∴AF=FC，
又∵EF=DF，
∴四边形ADCE为平行四边形；

（2）解：如图，过点F作FG⊥DC与G．
∵四边形ADCE为平行四边形，
∴AE∥CD．
∴∠FDG=∠AED=45°，
在Rt△FDG中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=$2\sqrt{2}$，
∵cos∠FDG=$\frac{DG}{DF}$，
∴DG=GF=DF•cos∠FDG=$2\sqrt{2}•cos45°$=2，
在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，
∵tan∠FCG=$\frac{FG}{GC}$，
∴$CG=\frac{FG}{tan∠FCG}=\frac{2}{tan30°}=2\sqrt{3}$，
∴DC=DG+GC=$2+2\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．