Question

10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是9，则AB的长是（　　）

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 4.5

Answer 1

分析 连接BD，得出△ABD是等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直平分，所以PD=BP，连接MD，由等边三角形的性质可知DM⊥AB，再根据∠ADM=30°即可求出AB的长．

解答 解：如图所示，连接DP，则根据菱形的对角线互相垂直平分，可得PD=BP，
当点M，P，D三点共线时，BP+MP=DP+MP=DM=9（最短），
连接BD，根据∠BAD=60°，可得△ABD是等边三角形，
∵点M是AB的中点，
∴DM⊥AB，
∴∠ADM=30°，
∵AM=$\frac{DM}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=2AM=6$\sqrt{3}$，
∴AB=6$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题是最短线路问题，考查的是菱形的性质以及等边三角形的性质在综合应用，由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的关键．