Question

18．如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH交PO于点D，已知PA=6，tan∠EAH=$\frac{2}{3}$．
①求⊙O的半径；
②求EH的长．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；
（2）①利用同角的余角相等得出，∠APO=∠EAH，再用锐角三角函数即可求出半径OA=4，
③先判断出，△EHG∽△EAH得出的比例式，用EH表示AE，EG，用AG=AE-EG建立方程即可求出EH即可．

解答 证明：（1）如图1，

作OH⊥PE，
∴∠OHP=90°，
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO是∠APE的角平分线，
∴∠APO=∠EPO，
在△PAO和△PHO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHP=∠OAP}\\{∠OPH=∠OPA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH=OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴OH是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线；
（2）①如图2，∵∠PAO=90°，
∴PA切⊙O于A，
∵PE与⊙O相切于点H，
∴PA=PH=6，
∵PO是△APE的角平分线，
∴PO⊥AH，
∴∠APO+∠PAH=90°，
∵∠EAH+∠PAH=90°，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH=$\frac{2}{3}$．
∴tan∠APO=$\frac{2}{3}$．
在Rt△APO中，AP=6，tan∠APO=$\frac{OA}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
∴OA=$\frac{2}{3}$AP=$\frac{2}{3}$×6=4，
②由①知，OA=4，
∴AG=2OA=8，
∵PE是⊙O的切线，
∴∠EHG=∠EAH，
∵∠HEG=∠AEH，
∴△EHG∽△EAH，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{GH}{AH}=\frac{EG}{EH}$，
在Rt△AHG中，tan∠EAH=$\frac{GH}{AH}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EH}{AE}=\frac{EG}{EH}=\frac{2}{3}$，
∴EG=$\frac{2}{3}$EH，AE=$\frac{3}{2}$EH，
∵AE-EG=AG=8，
∴$\frac{3}{2}$EH-$\frac{2}{3}$EH=8，
∴EH=$\frac{48}{5}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是求出圆的半径，是一道中等难度的中考常考题．