Question

【题目】如图，一次函数的图像与二次函数的图像交于、两点，点在轴上，点的横坐标为4．

（1）________，________；

（2）设二次函数的图像与轴交于点，与轴的另一个交点为，连接、，求的正弦值；

（3）①若点在轴下方二次函数图像上，过点作轴平行线交直线于点，以点为圆心，的长为半径画圆，求在直线上截得的弦长的最大值．

②若∠ABM=∠ACO，则点M的坐标为_________

Answer 1

【答案】（1）；－3；（2）；（3）①在直线上截得的弦长的最大值等于最大值的2倍，等于．②

【解析】

（1）根据条件，易求点A、B的坐标，将其代入二次函数中，得到关于b，c的方程组求解即可.

（2）作于F，易知，从而得到，分别用勾股定理和锐角三角函数求出AC，AF的长，在直角三角形ACF中，利用锐角三角函数定义即可求得的正弦值.

（3）①作于，易知，故，得到，即，设，则有，转化成二次函数的最值问题即可求得ET的最大值，进而求得在直线上截得的弦长的最大值；

②关键是利用勾股定理求得AP=的值，得到故点，再求出直线PB的解析式，进而利用相交法求得点M坐标．

解：（1）一次函数解析式，当x=4是，y=3，∴B(4，3)；

当y=0时，x=-2，∴A(-2,0)，又点A、B在二次函数的图像上，

∴，解得，

故答案为：，－3

（2）对于，令，则，∴

令，得，解得：，，∴，

∴，

∴

作于F，∵，

∴，

∵

∴，

∴的正弦值为．

（3）①作于，

设一次函数的图像与轴交于点，则

∵，∴，∴，

∵轴，∴，∴，

∴，∴，

设，则

∴

∴

∴当时，的最大值等于，

∴在直线上截得的弦长的最大值等于最大值的2倍，等于．

如图3，设直线AB交y轴于点H（0，1），直线BM交x轴于点P，过点P作PQ⊥AB于点Q，

由直线AB的表达式知tan ∠BAO=，则

在Rt△AQD中,tan∠QAD=tan ∠BAO==
在Rt△AOC中，tan∠ACO=，

又∵∠ABM=∠ACO

tan∠ABM=tan∠ACO=，
设PQ=2x，则QB=3x，AQ=4x，

则 解得：

又，

故点

由点B，P的坐标得，直线PB的表达式为，令①，

联立①②得：

解得：或（与B重合，舍去），将x=代入得y=

故点，

故答案为：