Question

【题目】如图，抛物线y=x2+mx+4m与x轴交于点A(，0）和点B(，0)，与y轴交于点C，，若对称轴在y轴的右侧．

（1）求抛物线的解析式

（2）在抛物线的对称轴上取一点M，使|MC-MB|的值最大；

（3）点Q是抛物线上任意一点，过点Q作PQ⊥x轴交直线BC于点P，连接CQ，当△CPQ是等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x-4；（2）M(1，-6)；（3）P1 ()，P2(2，-2)，P3()．

【解析】

（1）利用根与系数的关系即可求出m，结合对称轴在y轴右侧可得结果；

（2）根据点A和点B关于对称轴对称，过点AC作直线交对称轴于点M，求出A，B，C的坐标，求出AC的表达式，得到点M的坐标即可；

（3）分PC=PQ，QC=QP，CP=CQ分别讨论，求出相应x值即可.

解：（1）∵y=x2+mx+4m与x轴交于，0)和点B(，0)，

∴是方程x2+mx+4m=0的两个根，

，

，

∴(-2m)2-16m=20，

解得m1=5，m2=-1，

∵对称轴在y轴的右侧，

∴m=-1，

∴y=-x-4；

（2）y=-x-4中，当x=0时，y=-4，

当y=0时=-2，=4，

∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)，

过点AC作直线交对称轴于点M，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将(-2，0)，(0，-4)代入，

则，

解得，

得y=-2x-4，当x=1时，y=-6，

∴M(1，-6)；

（3）直线BC的解析式为y=k1x+b1，

将(4，0)，(0，-4)代入，

则，

解得，

得y=x-4，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

设P的横坐标为x，作PH⊥y轴于H，

则PC=，

∴PQ=|(x-4)--x-4）|

（图一） （图二）

如图一图二，当CQ=CP时，(x-4)+-x-4）=-8，

x=0，不合题意，所以不存在；

（图三） （图四） （图五）

如图三，当PC=PQ时，=(x-4)- -x-4），

解得x=，

∴P()

如图四，当CQ=PQ时，x=(x-4)- -x-4），

解得x=2，

∴P(2，-2)；

如图五，当PC=PQ时 ，

-x-4）-(x-4)=，

解得：x=，

∴P()；

综上：P1() ，P2(2，-2)，P3().