Question

【题目】如图，在等边三角形中，，点是边上的任意一点（点可以与点重合，但不与点重合）.过点作，垂足为；点作，垂足为；过点作，垂足为.设，.

（1）用含的代数式表示，并注明的取值范围；

（2）当的长等于多少时，点和点重合？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）可在直角三角形BPE中，用x表示出BE的长；同理在直角三角形ECF中，用EC表示出CF的长；同理在直角三角形AFQ中，用AF表示出AQ的长；而AQ=y，由此可得出y，x的函数关系式．
（2）当P，Q重合时，y+x=2，然后联立（1）的函数式即可求出x的值即BP的长．

解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2

在中，

，

，

在中，

，

，

，

，

中，，

，

，

∵点是边上的任意一点（点可以与点重合，但不与点重合），

∴的取值范围：0＜≤2，

故；

（2）当、重合时，有AQ+BP=AB=2，即，

解得

故的长为时，、重合.