Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数；
（3）若AC=7，AB=25，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交BC于P点；
（2）利用PA=PB得到∠B=∠PAB，加上∠PAB=∠PAC，则∠PAB=∠PAC=∠B，然后利用三角形内角和可计算出∠B的度数；
（3）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出BC=24，设CP=x，则PB=PA=24-x，然后在Rt△ACP中，再利用勾股定理得到x²+7²=（24-x）²，然后解方程即可．

解答 解：（1）如图，点P为所作；

（2）∵PA=PB，
∴∠B=∠PAB，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠PAB+∠PAC=90°，
∴∠B=30°；
（3）在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}$=24，
设CP=x，则PB=PA=24-x，
在Rt△ACP中，x²+7²=（24-x）²，解得x=$\frac{527}{48}$，
即CP的长为$\frac{527}{48}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．