Question

20．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC．

Answer 1

分析 连接AD、OD．先证明∠ADB=90°，∠EDO=90°，从而可证明∠EDA=∠ODB，由OD=OB可得到∠EDA=∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD=∠BAD，故此∠EAD+∠EDA=90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA=90°，于是可得到DE⊥AC．

解答 证明：连接AD、OD．

∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADO+∠ODB=90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO=90°．
∴∠EDA=∠ODB．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠EDA=∠OBD．
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°．
∴∠DEA=90°．
∴DE⊥AC．

点评 本题主要考查的是圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．