Question

20．二次函数y=-x²+mx+n的图象经过点A（-1，4），B（1，0），$y=-\frac{1}{2}x+b$经过点B，且与二次函数y=-x²+mx+n交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据待定系数法求得b，得到直线的解析式，设M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），则N（m，-m²-2m+3），则MN=-m²-2m+3-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-m²-$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=-（m+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，从而求得最大值．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+mx+n的图象经过点A（-1，4），B（1，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=-1-m+n}\\{0=-1+m+n}\end{array}\right.$
解得m=-2，n=3
∴二次函数的表达式为y=-x²-2x+3；
（2）$y=-\frac{1}{2}x+b$经过点B，
∴-$\frac{1}{2}$×1+b=0，
∴解得b=$\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$
设M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），则N（m，-m²-2m+3），
∴MN=-m²-2m+3-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-m²-$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=-（m+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，
∴MN的最大值为$\frac{49}{16}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数的最值，根据一次函数和二次函数表示出M、N的坐标是解题的关键．