Question

12．已知△ABC，如图所示
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设MN交AC于点P，已知PC=2PA，AB=2$\sqrt{2}$，∠A=45°，则BC=2$\sqrt{5}$（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）连接PB，根据等边对等角可得∠APB=90°，然后再利用勾股定理计算出BP的长，再利用勾股定理计算出BC长即可．

解答 解：（1）如图所示：

（2）连接PB，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠A=∠PBA，
∵∠A=45°，
∴∠PBA=45°，
∴∠CPB=90°，
∴AP²+BP²=AB²，
∵AB=2$\sqrt{2}$，
∴BP=2，
∴CP=4，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了基本作图，以及勾股定理和线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．