Question

4．已知：如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．
（1）求证：CF=FD；
（2）若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质证出∠DAF=∠CEF，AD=CE，由AAS证明△ADF≌△ECF，即可得出结论；
（2）根据题意可判断出OF是△ADC的中位线，得出OF=$\frac{1}{2}$AD即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OA=OC，
∴∠DAF=∠CEF，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠ECF}&{\;}\\{∠DFA=∠CFE}&{\;}\\{AD=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴CF=FD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=DC=6，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AD∥CE，AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵OA=OC，DF=FC，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=3．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．