Question

11．如图，△ABC，∠C=45°，点P、Q分别在射线CA、CB上，且CP=2，将△ABC沿PQ折叠，点C落在平面上点C′处．
（1）当PC′∥CB时，求CQ的长；
（2）当PC′⊥CA时，求CQ的长；
（3）当折叠后的△PC′Q与△ABC的重叠部分为等腰三角形时，求CQ的长．

Answer 1

分析 （1）由PC′∥BC，推出∠CQP=∠QPC=∠CPQ，可得CP=CQ=2；
（2）由PC′⊥AC，∠C=45°，可知△CPC′是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
（3）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；点C′在∠ACB的内部或一边上时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出CQ的长；点C′在∠ACB的外部时，同理求出CQ的长即可

解答 解：（1）如图1中，

∵PC′∥BC，
∴∠CQP=∠QPC=∠CPQ，
∴CP=CQ=2．

（2）如图2中，

∵PC′⊥AC，∵∠C=45°，
∴△CPC′是等腰直角三角形，
∵∠QPC=∠QPC′，
∴CQ=QC′=$\frac{1}{2}$CC′=$\sqrt{2}$．

（3）①如图3中，当PQ=PM时，

∵∠PMQ=∠PQM=∠C+∠CPQ，
由折叠的性质得：∠CPQ=∠MPQ，
设∠CPQ=∠MPQ=x，
则∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△CPM中，由三角形内角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠CPQ=30°，
作QN⊥CP于N，设CN=a，
∵∠C=45°，
则QN=CN=a，CQ=$\sqrt{2}$a，PN=$\sqrt{3}$QN=$\sqrt{3}$a，
∵CN+PN=CP，
∴a+$\sqrt{3}$a=2，
解得：a=$\sqrt{3}$-1，
∴CQ=$\sqrt{2}$（ $\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；

②如图4中，PQ=MQ，作QN⊥CA于N，
同①得：CQ=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；


③如图5中，点C′在∠ACB的内部时，四边形CPC′Q是菱形，OQ=OP=2cm；

④如图6中，当点C′在BC边上时，△CPQ是等腰直角三角形，OQ=$\sqrt{2}$，

⑤如图7中，当点C′在AC的边上时，△CPQ是等腰直角三角形，CQ=2 $\sqrt{2}$；

综上所述，满足条件的CQ的值为（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）cm或（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）cm或2cm或$\sqrt{2}$cm或2$\sqrt{2}$cm．

点评 本题是三角形综合题目，考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键，注意分类讨论．