Question

7．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2个等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
第3个等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4个等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
…
按上述规律，计算a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 首先根据题意，可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．

解答 解：第1个等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2个等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
第3个等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4个等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
…
a₁+a₂+a₃+…+a_n
=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$
=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

点评 此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．